حساب التباين
التباين والانحراف المعياري مع جدول الانحرافات والخطوات.
افصل بين القيم بفاصلة أو مسافة أو سطر جديد. يمكنك لصق عمود من Excel مباشرة.
نوع البيانات
- تباين المجتمع σ²
- 4
- الانحراف المعياري σ
- 2
- المتوسط الحسابي
- 5
- عدد القيم
- 8
للمقارنة: تباين العينة 4.571429 وانحرافه المعياري 2.13809. الفرق كله في القسمة على n − 1 بدل N.
خطوات الحل
- المتوسط الحسابي: مجموع القيم (40) مقسومًا على عددها (8).μ =408= 5
- انحراف كل قيمة عن المتوسط: نطرح المتوسط من القيمة. مجموع هذه الانحرافات صفر دائمًا، ولذلك نربّعها.-3، -1، -1، -1، 0، 0، 2، 4
- نربّع كل انحراف ونجمع المربعات.Σ(x − μ)² = 32
- التباين للمجتمع: مجموع المربعات مقسومًا على عدد القيم N = 8.σ² =328= 4
- الانحراف المعياري هو الجذر التربيعي للتباين، فيعود إلى وحدة القياس نفسها.σ = √4 = 2
جدول الانحرافات
| x | x − μ | (x − μ)² |
|---|---|---|
| 2 | -3 | 9 |
| 4 | -1 | 1 |
| 4 | -1 | 1 |
| 4 | -1 | 1 |
| 5 | 0 | 0 |
| 5 | 0 | 0 |
| 7 | 2 | 4 |
| 9 | 4 | 16 |
| المجموع | 0 | 32 |
عن الأداة
التباين هو متوسط مربعات انحرافات القيم عن متوسطها، ويقيس مدى تشتت البيانات: كلما كبر كانت القيم أبعد عن المتوسط. ولحسابه نجد المتوسط، ونطرحه من كل قيمة، ونربّع كل فرق، ونجمع المربعات، ثم نقسم. نربّع الفروق لأن مجموعها من دون تربيع صفر دائمًا، فالانحرافات الموجبة تلغي السالبة.
الفرق بين الصيغتين في القسمة: تباين المجتمع σ² = Σ(x − μ)² ÷ N حين تكون البيانات هي المجتمع كله، وتباين العينة s² = Σ(x − x̄)² ÷ (n − 1) حين تكون عينة نقدّر منها تباين مجتمع أكبر. القسمة على n − 1 (تصحيح بيسل) تعوّض أن متوسط العينة أقرب إلى قيمها من المتوسط الحقيقي، ولولاها لكان التقدير أصغر من الواقع. في Excel الدالتان VAR.P وVAR.S.
التباين بوحدة القياس مربّعة (سنتيمتر مربع لأطوال بالسنتيمتر)، ولذلك يُؤخذ جذره التربيعي، وهو الانحراف المعياري، للقراءة بالوحدة الأصلية. تعرض الأداة القيمتين معًا للصيغة المختارة وتذكر الأخرى للمقارنة.
أسئلة شائعة
ما الفرق بين التباين والانحراف المعياري؟
الانحراف المعياري هو الجذر التربيعي للتباين. التباين بوحدة مربّعة ويُستخدم في الحسابات النظرية والاختبارات الإحصائية، والانحراف المعياري بالوحدة نفسها ويُستخدم في الوصف والقراءة.
متى أقسم على n − 1 ومتى على N؟
اقسم على N حين تملك بيانات المجتمع كله (درجات كل طلاب الفصل وتريد وصفهم هم). واقسم على n − 1 حين تكون البيانات عينة تستدل بها على مجتمع أكبر (استبيان على 200 شخص لوصف مدينة)، وهو الأكثر في البحوث.
هل يمكن أن يكون التباين سالبًا؟
لا؛ فهو مجموع مربعات مقسومًا على عدد موجب، فلا يقل عن صفر. ويساوي صفرًا فقط حين تتساوى كل القيم.