حساب الدرجة المعيارية z
z من القيمة أو القيمة من z، مع النسبة تحت المنحنى الطبيعي.
القيمة أعلى من المتوسط بمقدار 1.5 انحراف معياري.
- النسبة تحت z
- 93.32%
- أقل من القيمة
- النسبة فوق z
- 6.68%
- أكبر من القيمة
- بين −1.5 و1.5
- 86.64%
- حول المتوسط
- الترتيب المئيني
- 93.3
- من كل 100
خطوات الحل
- الدرجة المعيارية: نطرح المتوسط من القيمة، ثم نقسم على الانحراف المعياري.z =85 − 7010=1510= 1.5
- النسبة تحت z من جدول التوزيع الطبيعي المعياري (دالة التوزيع التراكمي Φ).Φ(1.5) = 0.933193
قيم z الشائعة
| مستوى الثقة | z (ذيلان) | النسبة تحت z |
|---|---|---|
| 90% | ±1.6449 | 95% |
| 95% | ±1.96 | 97.5% |
| 98% | ±2.3263 | 99% |
| 99% | ±2.5758 | 99.5% |
| 99.9% | ±3.2905 | 99.95% |
عن الأداة
الدرجة المعيارية z تقول كم انحرافًا معياريًا تبعد قيمة عن المتوسط: z = (x − μ) ÷ σ. فدرجة 85 في اختبار متوسطه 70 وانحرافه المعياري 10 تعطي z = 1.5، أي أعلى من المتوسط بانحراف ونصف. وبها تُقارن قيم من مقاييس مختلفة: درجة في الرياضيات ودرجة في اللغة، أو طول ووزن.
في التوزيع الطبيعي تحدد z النسبة الواقعة تحتها: تحت z = 0 نصف المجتمع، وتحت z = 1.5 نحو 93.3%، وتحت z = 1.96 نحو 97.5%. تحسب الأداة هذه النسبة من دالة التوزيع التراكمي مباشرة (بدالة الخطأ erf) لا من جدول مقرّب، وتعرض النسبة فوق z والنسبة بين −z وz أيضًا، وهي القاعدة المعروفة: 68% ضمن انحراف واحد، و95% ضمن انحرافين، و99.7% ضمن ثلاثة.
وتعمل الأداة عكسيًا: من z إلى القيمة الأصلية x = μ + z × σ، ومن نسبة مئوية إلى z (المئين 90 يوافق z ≈ 1.28)، وهو ما يلزم لحساب فترات الثقة والدرجات الحدّية. كل ذلك يفترض أن البيانات تتبع التوزيع الطبيعي تقريبًا.
أسئلة شائعة
ماذا تعني درجة z سالبة؟
أن القيمة أقل من المتوسط؛ z = −2 مثلًا تعني أقل من المتوسط بانحرافين معياريين، وتقع تحتها نحو 2.3% فقط من القيم. وz موجبة تعني قيمة فوق المتوسط.
كيف أحوّل z إلى نسبة مئوية؟
من جدول التوزيع الطبيعي المعياري، أو من هذه الأداة مباشرة: النسبة تحت z هي Φ(z). فـ Φ(1) = 84.1% وΦ(1.645) = 95% وΦ(2) = 97.7%. والنسبة فوق z هي 1 − Φ(z).
ما قيمة z لمستوى ثقة 95%؟
z = 1.96 للاختبار من ذيلين (2.5% في كل ذيل)، وz = 1.645 من ذيل واحد. ولمستوى 99% تكون z = 2.576 من ذيلين. يعرضها الجدول أسفل الأداة.