حل نظام معادلتين بمجهولين
قيمتا x وy بطريقة الحذف وبالمحددات، مع الخطوات.
خطوات الحل
- طريقة الحذف: نضرب المعادلة الأولى في معامل x من الثانية، والثانية في معامل x من الأولى، ليتساوى معاملا x.8x + 12y = 528x − 2y = 10
- نطرح المعادلتين فيُحذف x، فتبقى معادلة في y وحده.14y = 42→y = 3
- نعوّض بقيمة y في المعادلة الأولى ونحل لإيجاد x.2x = 13 − (3 × 3)→x = 2
- وبطريقة المحددات (قاعدة كرامر): المحدد الرئيسي Δ، ثم Δx وΔy باستبدال عمود المعاملات بعمود الثوابت.Δ = (2 × -1) − (3 × 4) = -14Δx = (13 × -1) − (3 × 5) = -28Δy = (2 × 5) − (13 × 4) = -42
- ثم نقسم:x = -28-14 = 2y = -42-14 = 3
عن الأداة
نظام المعادلتين الخطيتين في مجهولين يمثل مستقيمين، وحل النظام هو نقطة تقاطعهما. فإن كان المستقيمان متوازيين فلا حل، وإن انطبقا فللنظام عدد لا نهائي من الحلول.
طريقة الحذف: نضرب إحدى المعادلتين (أو كلتيهما) في عدد مناسب ليتساوى معامل أحد المجهولين، ثم نطرح المعادلتين فيختفي ذلك المجهول، ونحل الناتج، ثم نعوّض لإيجاد المجهول الآخر.
وقاعدة كرامر تحل النظام بالمحددات: Δ = a₁b₂ − a₂b₁، وx = Δx ÷ Δ وy = Δy ÷ Δ، حيث يُحسب Δx باستبدال عمود معاملات x بعمود الثوابت. وإذا كان Δ = 0 فلا حل وحيد.
أسئلة شائعة
ما الفرق بين طريقة الحذف وطريقة التعويض؟
في الحذف نساوي معاملات أحد المجهولين ونطرح، وفي التعويض نجعل أحد المجهولين في طرف وحده ثم نعوّض به في المعادلة الأخرى. النتيجة واحدة، والحذف أسرع حين تكون المعاملات أعدادًا صحيحة.
متى لا يكون للنظام حل؟
حين يكون محدد النظام صفرًا والمعادلتان غير متكافئتين، أي المستقيمان متوازيان لهما الميل نفسه ولا يتقاطعان، مثل x + y = 2 وx + y = 5.