حل المعادلة التربيعية
المميّز والجذور بالصورة الدقيقة والعشرية، مع خطوات الحل.
اكتب المعاملات كما هي في المعادلة، مع الإشارة السالبة إن وُجدت.
بالكسر العشري: x₁ ≈ 2 وx₂ ≈ 1
خطوات الحل
- نكتب المعادلة في الصورة العامة، ونحدد المعاملات.x² − 3x + 2 = 0a = 1, b = -3, c = 2
- نحسب المميّز Δ من القانون Δ = b² − 4ac.Δ = (−3)² − 4 × (1) × (2) = 9 − 8 = 1
- المميّز موجب، فللمعادلة جذران حقيقيان مختلفان، نوجدهما من القانون العام.x =−b ± √Δ2a= 3 ± 12
- المميّز مربع كامل، فالجذران عددان نسبيان.x₁ = 2x₂ = 1
- ولأن الجذرين نسبيان يمكن الحل بالتحليل إلى عاملين:x² − 3x + 2 = (x − 2)(x − 1) = 0
- ومن خواص جذري المعادلة التربيعية: مجموعهما يساوي −b/a، وحاصل ضربهما c/a.x₁ + x₂ = 3x₁ × x₂ = 2
- ورأس القطع المكافئ (أعلى نقطة أو أدناها) عند:x = 32، y = −14
طريقة الاستخدام
- اكتب المعادلة في الصورة العامة ax² + bx + c = 0.
- أدخل المعاملات a وb وc، مع إشاراتها.
- يظهر المميّز ونوع الجذور والحل كاملًا، مع طريقة التحليل إن كانت الجذور نسبية.
عن الأداة
المعادلة التربيعية هي المعادلة من الدرجة الثانية: ax² + bx + c = 0 حيث a ≠ 0. وتُحل بالقانون العام x = (−b ± √Δ) ÷ 2a، حيث المميّز Δ = b² − 4ac.
المميّز يحدد نوع الحل قبل حسابه: إذا كان موجبًا فللمعادلة جذران حقيقيان مختلفان، وإذا ساوى صفرًا فلها جذر واحد مكرر، وإذا كان سالبًا فلا جذور حقيقية ويقع منحنى الدالة كله فوق محور السينات أو تحته.
وإذا كان المميّز مربعًا كاملًا فالجذران عددان نسبيان، ويمكن الحل بالتحليل إلى عاملين، مثل x² − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2) = 0. ومن خواص الجذرين أن مجموعهما −b/a وحاصل ضربهما c/a، وهي طريقة سريعة للتحقق من الحل.
أسئلة شائعة
ما هو المميّز ولماذا نحسبه؟
المميّز Δ = b² − 4ac، وهو ما تحت الجذر في القانون العام. يخبرك بعدد الجذور ونوعها قبل إكمال الحل: موجب فجذران، صفر فجذر واحد، سالب فلا حل حقيقي.
متى أحل بالتحليل ومتى بالقانون العام؟
التحليل أسرع حين تكون المعاملات صغيرة والمميّز مربعًا كاملًا، مثل x² + 5x + 6. والقانون العام يعمل دائمًا، فاستخدمه حين يصعب التحليل.
كيف أحل معادلة ناقصة مثل x² − 9 = 0؟
ضع b = 0 وسيعمل القانون: Δ = 36 وx = ±3. ويمكن حلها مباشرة بالجذر التربيعي أو بالفرق بين مربعين: (x − 3)(x + 3) = 0.