حساب القاسم المشترك الأكبر
ق.م.أ لعددين أو أكثر، بالعوامل الأولية وبخوارزمية إقليدس.
افصل بين الأعداد بفاصلة أو مسافة. من عددين إلى 12 عددًا.
القاسم المشترك الأكبر ق.م.أ (84، 126)
المضاعف المشترك الأصغر م.م.أ (84، 126)
خطوات الحل
- نحلّل كل عدد إلى عوامله الأولية بالقسمة المتتالية على الأعداد الأولية.84 = 2² × 3 × 7126 = 2 × 3² × 7
- القاسم المشترك الأكبر (ق.م.أ): نأخذ العوامل المشتركة بين جميع الأعداد فقط، كل عامل بأصغر أس ظهر به.ق.م.أ = 2 × 3 × 7 = 42
- المضاعف المشترك الأصغر (م.م.أ): نأخذ جميع العوامل الأولية، المشتركة وغير المشتركة، كل عامل بأكبر أس ظهر به.م.م.أ = 2² × 3² × 7 = 252
- للتحقق: حاصل ضرب العددين يساوي حاصل ضرب القاسم المشترك الأكبر في المضاعف المشترك الأصغر.84 × 126 = 42 × 252 = 10,584
طريقة أخرى: قواسم كل عدد
- قواسم 84:1، 2، 3، 4، 6، 7، 12، 14، 21، 28، 42، 84
- قواسم 126:1، 2، 3، 6، 7، 9، 14، 18، 21، 42، 63، 126
- القواسم المشتركة، وأكبرها هو القاسم المشترك الأكبر:1، 2، 3، 6، 7، 14، 21، 42 → 42
طريقة أخرى: خوارزمية إقليدس
- نقسم الأكبر على الأصغر، ثم نقسم المقسوم عليه على الباقي، حتى يصير الباقي صفرًا. آخر باقٍ غير صفري هو القاسم المشترك الأكبر للعددين 84 و126، وهو 42.126 = 1 × 84 + 4284 = 2 × 42 + 0
عن الأداة
القاسم المشترك الأكبر لعددين أو أكثر هو أكبر عدد يقسمها جميعًا دون باقٍ. قواسم 12 هي 1 و2 و3 و4 و6 و12، وقواسم 18 هي 1 و2 و3 و6 و9 و18، والمشترك بينها 1 و2 و3 و6، فالقاسم المشترك الأكبر 6.
بالتحليل إلى العوامل الأولية نأخذ العوامل المشتركة بين جميع الأعداد فقط، كل عامل بأصغر أس ظهر به: 84 = 2² × 3 × 7 و126 = 2 × 3² × 7، فالقاسم المشترك الأكبر 2 × 3 × 7 = 42.
وخوارزمية إقليدس أسرع للأعداد الكبيرة: نقسم الأكبر على الأصغر، ثم المقسوم عليه على الباقي، ونكرر حتى يصير الباقي صفرًا، فيكون آخر باقٍ غير صفري هو القاسم المشترك الأكبر. ويُستخدم القاسم المشترك الأكبر في تبسيط الكسور والنسب.
أسئلة شائعة
ما معنى أن العددين أوليان فيما بينهما؟
أن قاسمهما المشترك الأكبر 1، مثل 8 و15، ولو لم يكن أي منهما عددًا أوليًا.
كيف أستخدم القاسم المشترك الأكبر في تبسيط الكسر؟
اقسم البسط والمقام عليه: القاسم المشترك الأكبر للعددين 84 و126 هو 42، فالكسر 84/126 يساوي 2/3 في أبسط صورة.