المسافة بين نقطتين
طول القطعة المستقيمة بين نقطتين من إحداثياتهما، مع الخطوات.
- الفرق الأفقي Δx
- 3
- الفرق الرأسي Δy
- 4
- نقطة المنتصف
- (2.5, 4)
خطوات الحل
- الفرق الأفقي والفرق الرأسي بين النقطتين.Δx = 4 − 1 = 3, Δy = 6 − 2 = 4
- نربّع الفرقين ونجمع (هذا مربع الوتر بنظرية فيثاغورس).d² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
- المسافة هي الجذر التربيعي.d = √25 = 5
قانون المسافة بين نقطتين
المسافة بين نقطتين هي وتر المثلث القائم الذي ضلعاه الفرق الأفقي والفرق الرأسي، فالقانون هو نظرية فيثاغورس على المستوى الإحداثي.
مثال: بين (1, 2) و(4, 6): d = √((4 − 1)² + (6 − 2)²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
أمثلة
| النقطتان | Δx | Δy | المسافة |
|---|---|---|---|
| (0, 0) و(3, 4) | 3 | 4 | 5 |
| (1, 2) و(4, 6) | 3 | 4 | 5 |
| (2, 3) و(2, 9) | 0 | 6 | 6 |
| (-2, -1) و(3, 11) | 5 | 12 | 13 |
| (0, 0) و(1, 1) | 1 | 1 | 1.41421 |
| (5, 5) و(10, 17) | 5 | 12 | 13 |
عن الأداة
المسافة بين نقطتين (x₁، y₁) و(x₂، y₂) هي d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). بين (1، 2) و(4، 6): الفرق الأفقي 3 والرأسي 4، فالمسافة √(9 + 16) = 5. الترتيب لا يهم لأن الفرق يُربّع، فالإشارة تختفي.
القانون هو نظرية فيثاغورس نفسها: الفرق الأفقي Δx والفرق الرأسي Δy ضلعا مثلث قائم، والقطعة الواصلة بين النقطتين وتره. ويعرض الرسم هذا المثلث تحت القطعة. وفي ثلاثة أبعاد يضاف حد ثالث: √(Δx² + Δy² + Δz²).
يُستخدم في هندسة الإحداثيات لحساب أطوال أضلاع الأشكال من رؤوسها، وفي التحقق من أن مثلثًا متساوي الساقين أو قائم، وفي الرسوميات والخرائط ذات الإحداثيات المسطحة. أما على سطح الأرض بخطوط الطول والعرض فتُستخدم صيغة هافرساين لا هذا القانون.
أسئلة شائعة
ما قانون المسافة بين نقطتين؟
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²): ربّع الفرق في x والفرق في y، اجمع، ثم خذ الجذر التربيعي.
هل يهم أي نقطة أضع أولًا؟
لا. الفرق يُربّع فالنتيجة واحدة: (3 − 1)² = (1 − 3)² = 4.
كيف أحسب طول ضلع مثلث من إحداثيات رأسيه؟
أدخل الرأسين كنقطتين، فالمسافة بينهما هي طول الضلع. كرّر للأضلاع الثلاثة، ثم احسب المحيط أو المساحة بقانون هيرون.