حجم المخروط
ثلث حجم الأسطوانة التي لها القاعدة والارتفاع نفسهما.
الحجم المخروط
- الراسم (الارتفاع الجانبي)
- 11.6619 سم
- مساحة السطح الكلية
- 332.919 سم²
- ما يعادله باللتر
- 0.376991 لتر
خطوات الحل
- مساحة القاعدة الدائرية.B = π × 6² ≈ 3.14159 × 36 = 113.097
- حجم الأسطوانة التي لها القاعدة والارتفاع نفسهما.B × h = 113.097 × 10 = 1,130.97
- والمخروط ثلث تلك الأسطوانة.V = 1,130.97 ÷ 3 = 376.991
قانون الحجم المخروط
حجم المخروط = ثلث × مساحة القاعدة × الارتفاع، أي ثلث حجم أسطوانة لها القاعدة والارتفاع نفسهما
- r = نصف قطر القاعدة
- h = الارتفاع
- V = الحجم
مثال محلول
المخروط نصف قطر القاعدة 6 سم والارتفاع 10 سم. ما حجمه؟
الحل
- مساحة القاعدة الدائرية.B = π × 6² ≈ 3.14159 × 36 = 113.097
- حجم الأسطوانة التي لها القاعدة والارتفاع نفسهما.B × h = 113.097 × 10 = 1,130.97
- والمخروط ثلث تلك الأسطوانة.V = 1,130.97 ÷ 3 = 376.991
الحجم = 376.991 سم³
جدول قيم
| نصف قطر القاعدة (سم) | الارتفاع (سم) | الحجم (سم³) |
|---|---|---|
| 2 | 3 | 12.5664 |
| 3 | 4 | 37.6991 |
| 4 | 9 | 150.796 |
| 6 | 10 | 376.991 |
| 7 | 15 | 769.69 |
| 10 | 24 | 2,513.27 |
عن الأداة
حجم المخروط = ثلث × مساحة القاعدة × الارتفاع: V = ⅓ × π × r² × h. مخروط نصف قطر قاعدته 6 سم وارتفاعه 10 سم: مساحة القاعدة π × 36 ≈ 113.1 سم²، والحجم 113.1 × 10 ÷ 3 ≈ 376.99 سم³.
لماذا الثلث؟ لأن المخروط يملأ ثلث الأسطوانة التي لها القاعدة والارتفاع نفسهما بالضبط؛ وهي التجربة المدرسية المعروفة بملء مخروط بالماء وإفراغه في الأسطوانة ثلاث مرات. والقاعدة نفسها تنطبق على الهرم مع المنشور.
الارتفاع h هو العمود من الرأس إلى مركز القاعدة، لا الراسم l (الطول على السطح الجانبي من الرأس إلى حافة القاعدة). إن كان المعلوم الراسم فالارتفاع h = √(l² − r²) بفيثاغورس. وتعرض الحاسبة الراسم ومساحة السطح الكلية πr(r + l) مع الحجم.
أسئلة شائعة
ما قانون حجم المخروط؟
V = ⅓ × π × r² × h، أي ثلث حجم الأسطوانة بالقاعدة والارتفاع نفسيهما. مخروط نصف قطره 3 وارتفاعه 4 حجمه ≈ 37.7.
ما الفرق بين ارتفاع المخروط والراسم؟
الارتفاع عمودي من الرأس إلى مركز القاعدة، والراسم مائل من الرأس إلى حافة القاعدة وهو أطول دائمًا. يرتبطان بفيثاغورس: l² = r² + h². مخروط نصف قطره 6 وارتفاعه 8 راسمه 10.
كم يسع قمع مخروطي قطره 12 سم وارتفاعه 15 سم؟
نصف القطر 6 سم، فالحجم ⅓ × π × 36 × 15 ≈ 565.5 سم³، أي نحو 0.57 لتر.