مساحة المضلع المنتظم
من عدد الأضلاع وطول الضلع، مع المحيط والأبوثيم والزاوية الداخلية.
المساحة المضلع المنتظم
- المحيط
- 30 سم
- الأبوثيم (العمود من المركز)
- 4.33013 سم
- الزاوية الداخلية
- 120 °
خطوات الحل
- نحسب ظل الزاوية المركزية النصفية 180°/n.tan(180° ÷ 6) = tan(30°) = 0.57735
- العمود من المركز على الضلع (الأبوثيم) هو نصف الضلع مقسومًا على هذا الظل.a = 5 ÷ (2 × 0.57735) = 4.33013
- المساحة نصف المحيط في الأبوثيم، وهي الصورة نفسها للقانون.A = ½ × (6 × 5) × 4.33013 = 64.9519
قانون المساحة المضلع المنتظم
مساحة المضلع المنتظم = عدد الأضلاع × مربع الضلع ÷ (4 × ظل الزاوية 180°/n)
- n = عدد الأضلاع
- s = طول الضلع
- A = المساحة
مثال محلول
المضلع المنتظم عدد الأضلاع 6 وطول الضلع 5 سم. ما مساحته؟
الحل
- نحسب ظل الزاوية المركزية النصفية 180°/n.tan(180° ÷ 6) = tan(30°) = 0.57735
- العمود من المركز على الضلع (الأبوثيم) هو نصف الضلع مقسومًا على هذا الظل.a = 5 ÷ (2 × 0.57735) = 4.33013
- المساحة نصف المحيط في الأبوثيم، وهي الصورة نفسها للقانون.A = ½ × (6 × 5) × 4.33013 = 64.9519
المساحة = 64.9519 سم²
جدول قيم
| عدد الأضلاع | طول الضلع (سم) | المساحة (سم²) |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 6.9282 |
| 4 | 4 | 16 |
| 5 | 4 | 27.5276 |
| 6 | 4 | 41.5692 |
| 8 | 4 | 77.2548 |
| 10 | 4 | 123.107 |
| 12 | 4 | 179.138 |
عن الأداة
المضلع المنتظم هو مضلع أضلاعه كلها متساوية وزواياه كلها متساوية: المثلث متساوي الأضلاع، المربع، الخماسي المنتظم، السداسي، الثماني… مساحته من عدد الأضلاع n وطول الضلع s: A = n × s² ÷ (4 × tan(180° ÷ n)). سداسي منتظم ضلعه 5 سم مساحته 6 × 25 ÷ (4 × tan 30°) ≈ 64.95 سم².
القانون يأتي من تقسيم المضلع إلى n مثلثات متطابقة رأسها المركز وقاعدتها الضلع. ارتفاع كل مثلث هو الأبوثيم a = s ÷ (2 tan(180°/n))، والعمود من المركز على الضلع، فالمساحة n × ½ × s × a = ½ × المحيط × الأبوثيم. وتعرض الحاسبة الأبوثيم والمحيط n × s والزاوية الداخلية (n − 2) × 180° ÷ n.
حالات معروفة: السداسي المنتظم مساحته (3√3 ÷ 2) × s² ≈ 2.598s²، والثماني 2(1 + √2) × s² ≈ 4.828s²، والخماسي ≈ 1.720s². وكلما زاد عدد الأضلاع اقترب المضلع من دائرة نصف قطرها الأبوثيم.
أسئلة شائعة
كيف أحسب مساحة السداسي المنتظم؟
سداسي منتظم ضلعه s مساحته (3√3 ÷ 2) × s² ≈ 2.598 × s². سداسي ضلعه 4 سم مساحته ≈ 41.57 سم². وهو مكوّن من ستة مثلثات متساوية الأضلاع، مساحة كل منها (√3 ÷ 4)s².
ما الأبوثيم؟
هو المسافة العمودية من مركز المضلع المنتظم إلى منتصف أحد أضلاعه (نصف قطر الدائرة الداخلية). المساحة = ½ × المحيط × الأبوثيم، وهذه صيغة مكافئة للقانون الأساسي.
كم تبلغ الزاوية الداخلية للمضلع المنتظم؟
مجموع الزوايا الداخلية (n − 2) × 180°، والزاوية الواحدة في المنتظم (n − 2) × 180° ÷ n: في الخماسي 108°، وفي السداسي 120°، وفي الثماني 135°.