المتتابعة الهندسية
الحد رقم n والمجموع، والمجموع اللانهائي حين يقترب.
الأساس r هو النسبة الثابتة بين كل حدّين متتاليين: في 3، 6، 12، 24 يكون r = 2.
- الحد رقم 10 (aₙ)
- 1536
- مجموع أول 10 حدًا (Sₙ)
- 3069
الحدود الأولى:
3، 6، 12، 24، 48، 96، 192، 384، 768، 1536
خطوات الحل
- الحد النوني في المتتابعة الهندسية: نضرب الحد الأول في الأساس مرفوعًا للأس (n − 1).aₙ = a₁ × r^(n−1) = 3 × (2)^9 = 1536
- ومجموع أول n حدًا من قانون المجموع:Sₙ = a₁(1 − rⁿ)1 − r = 3(1 − (2)^10)1 − 2 = 3069
عن الأداة
المتتابعة الهندسية متتابعة النسبة بين كل حدّين متتاليين فيها ثابتة، وتسمى الأساس r: في 3، 6، 12، 24 الأساس 2.
الحد النوني: aₙ = a₁ × r^(n−1)، ومجموع أول n حدًا: Sₙ = a₁(1 − rⁿ) ÷ (1 − r) حين r ≠ 1.
وإذا كانت القيمة المطلقة للأساس أقل من 1 فالحدود تصغر باستمرار، ويكون للمتتابعة مجموع لا نهائي: S∞ = a₁ ÷ (1 − r). ولهذا يساوي 1/2 + 1/4 + 1/8 + … واحدًا صحيحًا.
أسئلة شائعة
كيف أجد أساس المتتابعة الهندسية؟
اقسم أي حد على الحد الذي قبله: في 5، 15، 45 يكون r = 15 ÷ 5 = 3.
متى يكون للمتتابعة الهندسية مجموع لا نهائي؟
حين يكون -1 < r < 1، فتقترب الحدود من الصفر ويستقر المجموع عند a₁ ÷ (1 − r). أما إذا كان |r| ≥ 1 فالمجموع يكبر بلا حد.